[定理] Ceva定理推廣

定理內容：
設D、E、F分別為BC、CA、AB上的點
且AF/FB=x,BD/CD=y,CE/EA=z
AD、BE、CF相交得△PQR
則△PQR/△ABC=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]

定理證明：

因直線CRF截ABD
由Menelaus定理有AR/RD*DC/CB*BF/FA=1
→AR/RD*1/(1+y)*1/x=1
→AR/RD=x(1+y)
→AR/AD=x(1+y)/(1+x+xy)

可知
△ARC=x(1+y)/(1+x+xy)*△ADC
=x(1+y)/(1+x+xy)*1/(1+y)*△ABC
=x/(1+x+xy)*△ABC

同理有
△ABP=y/(1+y+yz)*△ABC
△BCQ=z/(1+z+zx)*△ABC

從而
△PQR=[1-x/(1+x+xy)-y/(1+y+yz)-z/(1+z+zx)]*△ABC
=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]*△ABC

故△PQR/△ABC=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]

得證


當AD、BE、CF三線共點時
有△PQR=0，得xyz=1
即為Ceva定理