[題目] 幾何題52

題目：
圓O1和圓O2和△ABC三邊所在的3條直線都相切
E、F、G、H為切點
直線EG與直線FH交於N點
求證NA⊥BC

參考證明

延長NA交BC於D
直線NHF和△ABD的三邊延長線都相交
直線NGE和△ACD的三邊延長線都相交
分別用Menelaus定理得
AH/HB*BF/FD*DN/NA=1
DN/NA*AG/GC*CE/ED=1

將兩式相除得
AH/HB*BF/FD=AG/GC*CE/ED

又BH=BF,CG=CE
得AH/FD=AG/ED
即AH/AG=DF/ED

連O1G、O1E、O1A、O2A、O2H、O2F
顯然O1、A、O2共線

易證明△O1AG相似於△O2AH
得O1A/O2A=AG/AH=DE/DF
於是AD||O1E||O2F

故AD⊥EF
即NA⊥BC

得證