[題目] 幾何題55

題目：
四邊形ABCD中
F、E分別為AB、BC中點
FD、ED分別交AC於M、N
且AM=MN=NC
試證明四邊形ABCD是平行四邊形

參考證明

延長DE交AB延長線於G
由Menelais定理得
CN/NA*AG/GB*BE/EC
由CN/NA=1/2,BE/EC=1
得AG/AB=2
即BG/AB=1

由Menelais定理得
GB/BA*AC/CN*NE/EG=1
由GB/BA=1,AC/CN=3
得NE/EG=1/3

再由Menelais定理得
AF/FG*GD/DN*NM/MA=1
由AF/GF=1/3,NM/MA=1
得GD/DN=3
即GN/ND=2

∵GN/ND=AN/NC,∠ANG=∠CND
∴△ANG相似於△CND
→∠NGA=∠NDC
即AB平行CD

同理AD平行BC

即四邊形ABCD是平行四邊形

得證