[題目] 幾何題54

題目：
△ABC是等腰三角形, AB=AC
M是BC中點,O在AM延長線上使得OB⊥AB
E在直線AB上, F在直線AC上異於E的一點
且E、Q、F共線
求證
(1)若OQ⊥EF,則QE=QF
(2)若QE=QF,則OQ⊥EF

參考證明

(1)
∵∠EBO=∠EQO=90°
∴E、B、Q、O四點共圓

同理C、F、Q、O四點共圓

又O在BC中垂線上
故△BOC為等腰三角形

∠OEQ=∠OBQ=∠OCQ=∠OFQ
△OEF也為等腰三角形
故OE=OF

得證


(2)
由Menelaus定理得
BE/BA*AC/CF*FQ/QE=1

AB=AC,EQ=EF
故上式變成BE=CF

∵BE=CF, BO=CO, ∠EBO=∠FCO
∴△EBO全等於△FCO

得OE=OF
易得OQ⊥EF

得證